余弦

余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。

定义

的邻边/斜边（直角三角形）。记作cos=x/r。

时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

。

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；

（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。（见解三角形公式，推导过程略。）

余弦定理

余弦定理还可以用以下形式表达：

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理

任意三角形射影定理

，则有

两根判别法

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值：

①若m(c1,c2)=2，则有两解；

②若m(c1,c2)=1，则有一解；

③若m(c1,c2)=0，则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

角边判别法

1、当a>bsinA时：

①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；

②当b>a且cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；

③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；

④当b=a且cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；

⑤当b<a时，则有一解。

2、当a=bsinA时：

①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；

②当cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。

3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）。

证明方法

平面向量证法

∵a+b=c，（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)。

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)，（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos(π-θ)= - CosC，

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ。（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC，

。

同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中，

做AD⊥BC，交BC于D，

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a，

则有BD=c*cosB，AD=c*sinB，DC=BC-BD=a-c*cosB。

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2，

b2=(c*sinB)2+(a-c*cosB)2，

b2=(c*sinB)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2，

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2，

b2=c2+a2-2ac*cosB，

cosB=(c2+a2-b2)/2ac。

三角恒等变换

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

幂简约公式

和差化积公式

万能公式

其他

用其它三角函数来表示余弦

函数

两个角的和及差的余弦

同角三角函数的基本关系式

倒数关系：tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1；

商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα；

和的关系：sin2α+cos2α=1、1+tan2α=sec2α、1+cot2α=csc2α；

平方关系：sin²α+cos²α=1。