邻域

邻域是集合上的一种基础的拓扑结构。有邻域公理（邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念）、开邻域和闭邻域、去心邻域等的研究著作。

初等定义

邻域是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。

,点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。

邻域公理

内容

给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：

U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。

U2：若集合A，B∈U(x)，则A∩B∈U(x)。

U3：若集合A∈U(x)，且A ⊆ B ⊆ X，则B∈U(x)。

U4：若集合A∈U(x)，则存在集合B∈U(x)，使B ⊆ A，且∀y∈B，B∈U(y)。

含义

邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。

U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。

U2：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。

U3：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。

U4：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。更关键的，这样的邻域当且仅当它是X中的开集，这也是邻域公理为何等价于开集公理，从而可以通过它定义X上拓扑的原因。

开邻域和闭邻域

若x的邻域同时是X中的开集，称其为x的开邻域；若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。

结论

拓扑空间X，X的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。

拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核，当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。

拓扑空间X，X的子集A和A’，A’是A的闭包，当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}