贝塞尔曲线

贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。

贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。

曲线作用

贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。

曲线命名

概述

贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名是为贝塞尔曲线。

曲线发现者

“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发明，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。

公式

线性公式

给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方公式

二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：

TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。

三次方公式

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般参数公式

阶贝兹曲线可如下推断。给定点P0、P1、…、Pn，其贝兹曲线即：

如上公式可如下递归表达： 用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝兹曲线。

用平常话来说，阶的贝兹曲线，即双阶贝兹曲线之间的插值。

公式说明

1.开始于P0并结束于Pn的曲线，即所谓的端点插值法属性。

2.曲线是直线的充分必要条件是所有的控制点都位在曲线上。同样的，贝塞尔曲线是直线的充分必要条件是控制点共线。

3.曲线的起始点（结束点）相切于贝塞尔多边形的第一节（最后一节）。

4.一条曲线可在任意点切割成两条或任意多条子曲线，每一条子曲线仍是贝塞尔曲线。

5.一些看似简单的曲线（如圆）无法以贝塞尔曲线精确的描述，或分段成贝塞尔曲线（虽然当每个内部控制点对单位圆上的外部控制点水平或垂直的的距离为时，分成四段的贝兹曲线，可以小于千分之一的最大半径误差近似于圆）。

6.位于固定偏移量的曲线（来自给定的贝塞尔曲线），又称作偏移曲线（假平行于原来的曲线，如两条铁轨之间的偏移）无法以贝兹曲线精确的形成（某些琐屑实例除外）。无论如何，现存的启发法通常可为实际用途中给出近似值。

工具

概述

“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。它是用来“画线”造型的一种专业工具。当然还有很多工具也可以完成画线的工作，例如大家常用的photoshop里的直线、喷枪、画笔工具，Fireworks里的直线、铅笔和笔刷工具，CorelDraw里的自由笔，手绘工具等等。

特点

用“贝塞尔”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这些元素将改变路径中曲线的形状，可以看右图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。

使用

使用方法

贝塞尔曲线跟PS里的钢笔的意思大概差不多，不过贝塞尔曲线没有选取的功能。在这里，要切记，不要和轮廓工具弄混，前者是通过调节点调节形状，后者是调节形状轮廓的粗细以及样式。

补充几点：

1、在任意工具情况下，在曲线上双击都可以换为形状工具对曲线进行编辑；

2、在曲线上用形状工具双击可以增加一个节点；

3、在曲线的节点上双击形状工具可以删除一个节点；

4、位图可以用形状工具点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑；

5、用形状工具同时选中几个节点可以进行移动；

6、在微调距离中设定一个数值再用形状工具选中曲线的某一节点敲方向箭头可以进行精确位移；

7、将某一个汉字或字母转换为曲线就可以用形状工具进行修理如将“下”的右边的点拿掉等。

CDR画法

曲线对象上的节点可更改为尖突、平滑、对称和线条4种类型。

贝塞尔曲线可以使用快捷键来改变现有节点的类型。利用形状工具选择节点，然后按“C”键，可以将平滑、对称节点更改为尖突节点’或将尖突节点更改为平滑节点。还可以改变下一线段的切线方向。

贝塞尔曲线按“S”键可以将对称节点改为平滑节点，或将尖突、平滑节点更改为对称节点。还可以改变上下两线段的切线方向。

贝塞尔曲线按“ALT“键，不松开左键，可以移动节点。

贝塞尔曲线按“CTRL”键，切点方向可以根据预设空间的限制角度任意放置。

贝塞尔曲线按“ESC”键，要连续画不封闭且不连接的曲线。还可以一边画一边对之前的节点进行任意移动。

贝塞尔曲线在CDR中，默认生成的节点除了闭合节点为尖突类型外，其余都为对称点。