无偏估计

无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。无偏估计常被应用于测验分数统计中。

定义

无偏估计

具有无偏性。

例如，估计总体平均值μ时，若以样本平均值ξ'为估计量，则可算得ξ'的数学期望E(ξ')=μ，这说明ξ'是总体平均值μ的无偏估计。

(ξ1，ξ2，…，ξn)为θ的渐近无偏估计。

有偏估计

优良性

无偏估计的优良性可以从下面两个方面给予概率论解释。

没有系统偏差

，总会时而对某些样本偏高，时而对另一些样本偏低。而无偏性表示，把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为零，即无偏估计量只有随机误差而没有系统误差。例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。

但是需要注意的是，所谓“平均为零”只有在大量重复使用此模型时才能体现出来。关于这一点，需要用大数定律作进一步解释。

解释

(X(i))。设X(1)，X(2)，…，X(m)是独立同分布的。若具有无偏性，按照强大数定律，有

性质

是总体期望E[X]的无偏估计；

的无偏估计；

；

的无偏估计，但对 k 阶中心矩则不一样。

的线性函数。

存在问题

(1)无偏估计有时并不一定存在。

(2)可估参数的无偏估计往往不唯一。统计学中，将存在无偏估计的参数称为可估参数，可估参数的无偏估计往往不唯一，而且只要不唯一，则即有无穷多个。一个参数往往有不止一个无偏估计。