梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。
定义
,即有:
。
是方向l上的单位向量,则
由于当方向l与梯度方向一致时,有
有最大值,且最大值为梯度的模,即
推广
梯度的概念可以推广到三元函数的情形。
,称向量
,即
。
应用
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的特殊情况。
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。